Реклама

Реклама

Яндекс.Метрика

Модель Солоу (без учета технического прогресса)


Ниже мы рассмотрим простую макроэкономическую модель роста, предложенную Солоу. С помощью этой модели впоследствии Фелпс сформулировал так называемое «золотое правило».
В модели использована производственная функция для экономики в целом, описывающая зависимость конечного выпуска Y от затрат труда L и капитала К.
Модель Солоу (без учета технического прогресса)

Производственная функция считается однородной первой степени, что значительно упрощает анализ. С этой же целью мы пока не рассматриваем влияние технического прогресса.
Запишем для функции (8.17) уравнение полного дифференциала:
Модель Солоу (без учета технического прогресса)

где F'L(K, L) - предельная производительность труда и F'K(К, L) -предельная производительность капитала.
Уравнение (8.18) может быть легко преобразовано к виду:
Модель Солоу (без учета технического прогресса)

где α - коэффициент эластичности конечного выпуска по капиталу, a β - коэффициент эластичности конечного выпуска по труду, причем α + β = 1 в силу однородности первой степени производственной функции.
Обозначим темп прироста конечного выпуска dY/Y через р, темп прироста капитала dK/K - через рK и темп прироста dL/L труда через - pL. Тогда уравнение (8.19) примет вид:
Модель Солоу (без учета технического прогресса)

Пусть темп прироста труда является величиной внешне заданной, определяемой темпом прироста населения, и пусть этот прироста положителен, т.е. рL > 0. На рис. 18 изображена зависимость темпа прироста продукции от темпа прироста капитала при заданном темпе прироста труда в окрестностях некоторой точки (рK' ,р'), которая является точкой пересечения луча рK и прямой (8.20).
Модель Солоу (без учета технического прогресса)

Если pK' = р, то из уравнения (8.20) следует, что pK' = pL. При сбалансированном темпе роста капитал растет тем же темпом, что и труд, и, следовательно, фондовооруженность K/L остается постоянной. Однако траектории роста могут отличаться друг от друга отношением K/L, т.е. фондовооруженностью. Существует поэтому бесконечно много сбалансированных траекторий роста, отличающихся уровнем фондовооруженности.
Если же pK ≥ р, то из (8.20) следует, что рK ≥ pL. Если далее темп прироста капитала больше темпа прироста труда, то размер капитала увеличивается по отношению к размеру используемого труда. В силу убывающей предельной производительности капитала его расширение более быстрыми темпами, чем расширение труда приводит далее к замедлению темпа прироста капитала. Это падение темпа прироста капитала будет продолжаться до тех пор, пока он не сравняется с темпом прироста продукции. Или иначе, если pK ≥ р, то pK → pK.
Рассмотрим теперь динамическую модель Солоу, которая наглядно иллюстрирует множественность сбалансированных траекторий роста и асимптотическое стремление к сбалансированному росту.
Пусть склонность к сбережениям есть величина постоянная, т.е. сбережения S составляют некоторую постоянную долю s от дохода: S = sY. Ввиду равенства инвестиций сбережениям имеем: I = sY.
Пусть выбытие основных фондов составляет некоторую постоянную долю μ от величины капитала К, т.е. расходы на возмещение выбытия капитала равны μК. Тогда вычитая из валовых инвестиций расходы на возмещение выбытия капитала, получим чистый прирост капитала:
Модель Солоу (без учета технического прогресса)

где К = dK(t)/dt и, следовательно,
Модель Солоу (без учета технического прогресса)

Разделив обе части уравнения (8.21) на К, получим:
Модель Солоу (без учета технического прогресса)

Заметим, что однородную первой степени производственную функцию (8.17) можно записать в виде Y = LF(K/L, 1), или:
Модель Солоу (без учета технического прогресса)

где у - средняя производительность труда Y/L, а k - фондовооруженность труда K/L1.
Теперь уравнение (8.22) может быть записано так:
Модель Солоу (без учета технического прогресса)

Вычитая из обеих частей равенства (8.22) темп прироста труда, получим:
Модель Солоу (без учета технического прогресса)

где h = μ + рL.
Если темп прироста капитала равен темпу прироста труда, то соотношение (8.23) приобретает простой вид:
Модель Солоу (без учета технического прогресса)

На рис. 19 изображена функция sf(k) и луч hk. Точка пересечения этого луча с функцией sf(k) зависит от выбора нормы накопления s. При заданной норме накопления в уравнении (8.24) находим единственное значение фондовооруженности k'. Таким образом, каждому заданному значению s соответствует сбалансированный рост определенного типа, т.е. с определенным уровнем фондовооруженности k'.
Модель Солоу (без учета технического прогресса)

Выбор нормы накопления определяет и норму процента i=f'(k')-μ при сбалансированном росте.
Принимая во внимание, что коэффициент эластичности выпуска по капиталу равен:
Модель Солоу (без учета технического прогресса)

заключаем с учетом (8.24), что для всех сбалансированных траекторий выполняется равенство:
Модель Солоу (без учета технического прогресса)

Аналогично можно рассмотреть и случай, когда k ≥ k'. Если k ≥ k', то sf(k) ≤ hk и рK ≥ pL. То есть затраты труда растут быстрее, чем капитал. Фондовооруженность сокращается и асимптотически стремится к фондовооруженности сбалансированного роста.
Из всех сбалансированных траекторий роста может быть выбрана одна по какому-то критерию. Например, мы можем выбрать такую траекторию, для которой норма процента (чистая предельная производительность капитала) равна темпу роста капитала f'(k) - μ = рK. Подставляя это значение в уравнение (8.22), получим:
Модель Солоу (без учета технического прогресса)

откуда следует, что s = α. В этом случае норма накопления равна эластичности выпуска по капиталу, а норма процента равна темпу прироста населения.
Этот случай соответствует максимуму потребления на душу населения. Таким образом, среди сбалансированных траекторий может быть выбрана такая, которая обеспечивает максимум C/L, и при этом норма накопления оказывается равной эластичности конечного выпуска по капиталу. Этот результат был получен Фелпсом.
Обозначим предельную производительность капитала через f(k) = r. В соответствии с «золотым» правилом r = i + μ = h и, следовательно, rK = hK и далее rK = sY, т.е. это правило состоит в том, чтобы вся валовая (включая амортизацию) прибыль расходовалась на возмещение выбытия капитала и на его рост, и, следовательно, расходы на потребление С равны фонду заработной платы wL. При r ≥ h и, следовательно, s ≤ α сбережения оказываются меньше прибыли и расходы на потребление больше фонда заработной платы. Наоборот, при r ≤ h и, следовательно, при s ≥ α сбережения больше прибыли и расходы на потребление меньше фонда заработной платы.
Чтобы подчеркнуть различие между классической теорией (А.Смит, Д.Рикардо) и неоклассической (Солоу), заметим, что в соответствии с классической теорией рынок регулирует численность населения и, следовательно, рост населения определяется ростом капитала.
Использование иных моделей с какими-то другими целевыми функциями приводит, конечно, к другим результатам относительно нормы накопления и темпа роста производства. Эта неопределенность вынудила Я. Тинбергена сказать: «ответ на вопрос о том, может ли экономическая наука указать оптимальный темп развития производства, по-видимому, отрицателен»).