Реклама

Реклама

Яндекс.Метрика

Продуктивность матрицы коэффициентов прямых затрат


Рассмотрим внимательнее решение модели межотраслевого баланса для двух отраслей (6.16): в каких случаях искомые валовые выпуски x1 и X2 могут оказаться отрицательными? Иначе говоря, рассмотрим условия существования такого решения для модели межотраслевого баланса, которое отвечало бы экономическому содержанию переменных.
Заметим, что по экономическому смыслу коэффициенты прямых затрат являются неотрицательными. Кроме того, коэффициенты, характеризующие внутриотраслевой оборот (т.е. а11 и а22), должны быть строго меньше единицы. Ибо произведенная отраслью продукция за вычетом внутриотраслевого потребления должна быть строго больше нуля, т.е. отрасль должна давать продукцию либо (и) на конечное потребление, либо (и) должна создавать промежуточную продукцию, необходимую для другой отрасли. В связи с этим отрицательными х1 и х2 (см. (6.16)) могут оказаться в двух случаях: если y1 ≤ 0 и у2 ≤ 0 или если d ≤ 0. Полезно эти два случая отделить друг от друга. Рассмотрим поэтому более подробно случай, когда не существует с экономической точки зрения приемлемого решения модели межотраслевого баланса, если у1 ≥ 0 и у2 ≥ 0.
Пусть y1 ≥ 0 и у2 ≥ 0, тогда уравнения (6.7), (6.8) можно записать в виде неравенств:
Продуктивность матрицы коэффициентов прямых затрат

или
Продуктивность матрицы коэффициентов прямых затрат

Легко заметить, если система неравенств (6.46)-(6.47) совместна, то ее решения будут либо только положительные: x1 ≥ 0 и х2 ≥ 0, либо только отрицательные: x1 ≤ 0 и х2≤ 0. Таким образом, если можно указать хотя бы одно положительное решение системы неравенств (6.46)-(6.47), то все остальные допустимые решения являются так же положительными. Если система неравенств (6.46)-(6.47) совместна и x1 ≥ 0 и х2 ≥ 0, то x1 и x2 будут лежать в угле, изображенном на рис. 17.
Продуктивность матрицы коэффициентов прямых затрат

Ниже дано определение продуктивной матрицы и вводится мера ее продуктивности.
Заметим сначала, что коэффициенты прямых затрат по определению являются неотрицательными, это записывают так: А ≥ 0. Такие матрицы называются неотрицательными. Аналогично вектор х ≥ 0, состоящий из неотрицательных компонент, называется неотрицательным.
Неотрицательная матрица является продуктивной, если найдется такой неотрицательный вектор х ≥ 0, что
Продуктивность матрицы коэффициентов прямых затрат

Укажем теперь некоторые важные свойства продуктивных матриц, приведя их без доказательств.
Если матрица А продуктивная, то система неравенств х ≥ Ax имеет только неотрицательные решения.
Если матрица A продуктивная, то матрица (I-А) будет невырожденной (т.е. ее ранг равен n).
Если матрица А продуктивная, то для любого у ≥ 0 уравнение
Продуктивность матрицы коэффициентов прямых затрат

имеет единственное неотрицательное решение.
Матрица А является продуктивной тогда и только тогда, когда матрица (I-A)-1 неотрицательна.
Таким образом, чтобы выяснить, является ли конкретная матрица А продуктивной, нужно вычислить обратную матрицу (I-A)-1. Если А большой размерности, то это дорогой способ. В этих случаях важны простые, хотя может быть и грубые (неточные) способы проверки продуктивности матрицы А. Например, если при построении межотраслевого баланса в натуральном выражении межотраслевые потоки оказались неотрицательными и конечные выпуски положительными, то матрица А будет продуктивной: рассчитав валовые выпуски, мы тем самым укажем такие х*, что х* ≥ Ах*. Это не означает, однако, что если некоторые компоненты вектора у в исходном балансе оказались отрицательными, то мы получим непременно непродуктивную матрицу А. Простым (но только достаточным) признаком продуктивности матрицы А является величина ее нормы. Если pH ≤ 1, то матрица A продуктивная. Ho она может оказаться продуктивной, если даже ||A|| ≥ 1.
Количественная оценка продуктивности матрицы А может быть получена через оценку общего уровня коэффициентов прямых затрат промежуточной продукции: именно, чем выше общий уровень затрат, тем ниже продуктивность матрицы А. Общий уровень затрат промежуточной продукции может быть измерен по-разному. Например, если матрица А измерена в стоимостном выражении, то сумма коэффициентов по столбцам этой матрицы будет характеризовать общий уровень затрат промежуточной продукции в каждой из отраслей, а норма матрицы будет грубой оценкой общего уровня затрат в целом по всем отраслям. Точной количественной оценкой общего уровня коэффициентов затрат в целом по всем отраслям является наибольшее по модулю собственное значение матрицы.
В этой связи напомним, что уравнение
Продуктивность матрицы коэффициентов прямых затрат

называется характеристическим уравнением, а корни этого уравнения называют собственными значениями матрицы А.
Пусть имеются две отрасли. Тогда уравнение (6.49) примет вид:
Продуктивность матрицы коэффициентов прямых затрат

или
Продуктивность матрицы коэффициентов прямых затрат

Из анализа квадратного уравнения (6.50) можно сделать ряд выводов. Если коэффициенты aij положительные, то наибольший по модулю корень уравнения строго больше нуля. Очевидно также, что корни уравнения (6.50) будут одинаковыми для матрицы А в натуральном и стоимостном выражении. Легко убедиться, что при увеличении всех коэффициентов в а раз корни уравнения возрастут также в α раз. И, наконец, если наибольший по модулю корень уравнения (6.50) строго меньше единицы, то
Продуктивность матрицы коэффициентов прямых затрат

Этот анализ показывает, что наибольший по модулю корень уравнения (6.50) может служить оценкой общего уровня коэффициентов прямых затрат. Обозначим наибольший по модулю корень уравнения (6.50) через λ*. Следовательно, (1-λ*) характеризует остаток, т.е. продуктивность.
Чтобы матрица А была продуктивной, необходимо и достаточно, чтобы ее наибольшее по модулю собственное значение было строго меньше единицы. При этом величина 1-λ* характеризует возможности достижения каких-либо других (кроме текущего производственного потребления) целей: чем больше 1-λ*, тем больше возможности достижения других целей (будь то расширение производства или увеличение расходов на охрану окружающей среды, или увеличение уровня личного потребления и т.д.). Чем выше общий уровень коэффициентов матрицы А, тем больше наибольшее по модулю собственное значение и ниже уровень продуктивности, и наоборот, чем ниже общий уровень коэффициентов матрицы А, тем меньше наибольшее по модулю собственное значение и выше продуктивность.
Заметим, наконец, что уменьшение продуктивности матрицы А приводит к прогрессирующему росту коэффициентов полных затрат. Поэтому для менее продуктивных матриц итеративный способ обращения матрицы (I-А) (на основе разложения обратной матрицы в ряд) оказывается и менее эффективным.