Реклама

Реклама

Яндекс.Метрика

Разложение матрицы коэффициентов полных затрат в ряд


Матрица коэффициентов полных затрат является аналогом мультипликатора в теории Кейнса. Это обстоятельство подтверждает важность понятия мультипликатора и вызываемого им эффекта при анализе экономики.
Ниже рассмотрены свойства матрицы коэффициентов полных затрат и возможность ее разложения в ряд. При этом используется модель межотраслевого баланса в стоимостном выражении.
Построение модели межотраслевого баланса начинается с заполнения исходными данными таблицы межотраслевого баланса. Если исходные данные представлены в стоимостном выражении (например, в денежном), то в результате мы получаем модель межотраслевого баланса в стоимостном выражении.
Как мы уже видели, межотраслевой баланс в стоимостном выражении и соответствующая ему модель межотраслевого баланса имеют ряд особенностей: в таблице межотраслевого баланса появляется строка «итого», коэффициенты прямых затрат являются теперь величинами безразмерными, сумма коэффициентов прямых текущих затрат для каждой отрасли обычно меньше единицы, и цены нормированы, т.е. равны единицам.
В таком балансе вместо строки «затраты труда» появляется строка условно чистой продукции. Как известно, условно чистая продукция состоит из амортизационных отчислений, заработной платы, прибыли, косвенного налога. В соответствии с такой классификацией условно чистая продукция может быть расчленена на ряд строк с соответствующими названиями. В свою очередь конечная продукция состоит из затрат на возмещение выбытия основных фондов, фонда накоплений, фондов личного и общественного потребления, прироста запасов и экспортно-импортного сальдо. Поэтому в таблице межотраслевого баланса столбец конечной продукции может быть расчленен на ряд столбцов, наименование которых соответствует составу конечной продукции.
Равенство (6.39) теперь означает, что суммарная условно чистая продукция равна суммарному конечному выпуску. Таким образом, имеются два способа подсчета одной и той же величины, и если результат расчета этой величины по двум указанным способам оказался одинаковым или при практических расчетах - близким, то это является косвенным признаком надежности используемой статистической информации. Аналогично при расчетах межотраслевого баланса на основе его модели совпадение итогов по строкам и столбцам таблицы межотраслевого баланса в стоимостном выражении, а также выполнение равенства (6.39) являются косвенным признаком правильности выполненных расчетов.
Итак, модель межотраслевого баланса имеет вид:
Разложение матрицы коэффициентов полных затрат в ряд

причем обычно для модели межотраслевого баланса в стоимостном выражении норма матрицы А меньше единицы: ||А|| ≤ 1.
Уравнения (6.44) при заданных конечных выпусках образуют систему линейных неоднородных уравнений, в которых неизвестными величинами являются валовые выпуски отраслей.
Рассмотрим один способ приближенного решения системы уравнений (6.44). Отыскание вектора х, согласованного с вектором у, можно осуществить в виде итераций:
Разложение матрицы коэффициентов полных затрат в ряд

Пусть задан вектор валовых выпусков х(0), не согласованный с вектором конечных выпусков у. Найдем x(1) по заданным y и x(0):
Разложение матрицы коэффициентов полных затрат в ряд

Продолжая эту последовательность определения вектора х, на (k+1) шаге получим:
Разложение матрицы коэффициентов полных затрат в ряд

Оценим величину (или уровень) коэффициентов матрицы Ak, исходя из предположения, что норма матрицы коэффициентов прямых затрат меньше единицы.
Очевидно, аij ≤ ||A||. Найдем A2 = AA. Обозначим коэффициенты матрицы A2 через аij(2). Они равны:
Разложение матрицы коэффициентов полных затрат в ряд

Найдем суммы коэффициентов матрицы А по столбцам и оценим величины этих сумм, определив их верхнюю границу:
Разложение матрицы коэффициентов полных затрат в ряд

Следовательно, aij(2) ≤ ||/1||. Аналогично находим оценку уровней коэффициентов аij(k) матрицы Ak:
Разложение матрицы коэффициентов полных затрат в ряд

Таким образом, ряд
Разложение матрицы коэффициентов полных затрат в ряд

сходится при k→∞, т.е. сумма членов ряда конечная.
Обозначим эту сумму через В:
Разложение матрицы коэффициентов полных затрат в ряд

Умножим обе части равенства (6.45) на (I-А), тогда:
Разложение матрицы коэффициентов полных затрат в ряд

Таким образом, матрица В является обратной к (I-А). Теперь решение системы уравнений (6.44) можно записать в виде:
Разложение матрицы коэффициентов полных затрат в ряд

Из разложения матрицы В в ряд (6.45) видно, если все aij ≥ 0, то bii ≥ 1 + aii и bij ≥ aij, i≠j. Очевидно также, если у ≥ 0, т.е. все уi ≥ 0, то x ≥ 0 (см. 6.45).
Разложение матрицы В может быть записано еще и в следующем виде:
Разложение матрицы коэффициентов полных затрат в ряд

Матрицу В называют матрицей коэффициентов полных затрат. Как видно из (6.45), точнее было бы матрицу (В - I) называть матрицей коэффициентов полных затрат. Оба эти определения используются в литературе по модели межотраслевого баланса. В соответствии со вторым определением, матрица коэффициентов полных затрат равна сумме двух матриц: коэффициентов прямых затрат А и коэффициентов косвенных затрат: A2(I-A)-1.
Запишем решение системы уравнений модели межотраслевого баланса в развернутой форме:
Разложение матрицы коэффициентов полных затрат в ряд

Коэффициенты bij показывают, насколько единиц увеличится валовой выпуск i-й отрасли при увеличении конечного выпуска в j-й отрасли на единицу. Затраты сырья и материалов могут быть рассчитаны на единицу валового выпуска в отрасли. Эти же затраты могут быть рассчитаны на единицу конечного выпуска. При исчислении коэффициентов полных затрат все затраты промежуточной продукции отнесены на счет конечной продукции. Поэтому при решении системы уравнений (6.44) устанавливается прямая связь между затратами и конечным выпуском: величина bijyj (i = 1, 2, n) показывает вклад i-й отрасли в производство конечной продукции j-й отрасли. Такое прямое сопоставление удобно и полезно, так как при крупных масштабах производства и разделения труда возможность непосредственно связать затраты с конечными потребностями утрачивается.
Вектор конечной продукции у может быть представлен как сумма векторов у1, у2, ..., у1, например, вектора накоплений у1, вектора возмещения выбытия основных фондов у2, вектора личного потребления населения у3, вектора расходов на образование и здравоохранение у4, вектора расходов на оборону у5 и т.д.
Решение модели межотраслевого баланса позволяет найти объемы ресурсов, отвлекаемых на каждую из конечных целей, так как вектор валовых выпусков в свою очередь может быть расчленен на отдельные векторы x1, х2, ..., х1, которые равны:
Разложение матрицы коэффициентов полных затрат в ряд

С помощью модели межотраслевого баланса можно определить, сколько и каких ресурсов идет на обеспечение различных целей, т.е. на создание конечной продукции того или иного вида. Сопоставляя межотраслевые балансы разных лет, можно определить изменение затрат разных ресурсов на эти цели. Анализ структурных изменений указанного типа невозможно осуществить вне рамок модели межотраслевого баланса. Информация, которую можно получить в результате такого анализа, несомненно, нужна как для выявления общей картины затрат и выпусков, так и для принятия решений.
Понятие полных затрат является фундаментальным в теории модели межотраслевого баланса. Коэффициенты bij тем точнее характеризуют затраты на производство конечной продукции, чем полнее учтены прямые затраты. Загрязнение окружающей среды, обеднение почв и т.д. являются неучтенными издержками производства, т.е. такими издержками, которые не калькулируются в себестоимости продукции предприятия. Если какая-то часть затрат не находит отражения в себестоимости продукции, то название - полные затраты - может вводить в заблуждение. Эта проблема издержек производства может быть уточнена с помощью модели межотраслевого баланса, в которой отражены отходы производства и затраты на устранение загрязнений.