Реклама

Реклама

Яндекс.Метрика

Модель межотраслевого баланса (n отраслей)


Пусть имеется n отраслей. Обозначим через x1 валовой выпуск i-й отрасли, через уi - конечный выпуск i-й отрасли и через zij - поставки промежуточной продукции из i-й отрасли в j-ю. Тогда межотраслевой баланс продукции имеет вид:
Модель межотраслевого баланса (n отраслей)

Будем считать, что продукция отраслей измерена в натуральных единицах, и, следовательно, система уравнений (6.25) является межотраслевым балансом в натуральном выражении.
Уравнения (6.25) называют уравнениями распределения продукции, так как они отражают характер распределения произведенной i-й отраслью валовой продукции по ее различным потребителям. Промежуточная продукция обозначена буквой z и имеет два индекса: первый индекс указывает, какая отрасль произвела данную продукцию (индекс 0, а второй - какая отрасль является потребителем промежуточной продукции (индекс j). Сумма в уравнениях (6.25) характеризует объем промежуточной продукции, произведенной i-й отраслью. Остальная часть у, произведенной i-й отраслью продукции идет на конечное потребление.
Одновременно с межотраслевым балансом продукции будем рассматривать и баланс затрат труда. Обозначим через L общее число отработанных человеко-часов во всех отраслях и через Lj - затраты труда в j-й отрасли (отработанное число человеко-часов в j-й отрасли). Тогда баланс затрат труда будет иметь вид:
Модель межотраслевого баланса (n отраслей)

Межотраслевой баланс продукции (6.25) и баланс затрат труда (6.26) составляют информационную основу модели межотраслевого баланса.
Основная гипотеза модели межотраслевого баланса состоит в следующем. Для производства единицы продукции в j-й отрасли требуется определенное количество затрат промежуточной продукции i-й отрасли, равное aij. Оно не зависит от объема производства в данной отрасли и слабо изменяется во времени. Величины aij называют коэффициентами прямых затрат промежуточной продукции, и они равны:
Модель межотраслевого баланса (n отраслей)

При построении модели баланса затрат труда вводится предположение, аналогичное относительно коэффициентов aij. Именно для производства единицы продукции в j-й отрасли требуется определенное количество затрат труда, равное lj. Оно не зависит от объема производства в данной отрасли и слабо изменяется во времени. Величины lj называют коэффициентами прямых затрат труда, и они равны:
Модель межотраслевого баланса (n отраслей)

Основная гипотеза модели межотраслевого баланса может быть выражена в другой форме. Потребность в промежуточной продукции i-го вида в j-й отрасли пропорциональна ее валовому выпуску. Эта пропорция не зависит от объема производства в j-й отрасли и слабо изменяется во времени. В соответствии с этой формулировкой соотношения (6.27) переписываем следующим образом:
Модель межотраслевого баланса (n отраслей)

Аналогично, затраты труда в отрасли являются функцией ее валового выпуска:
Модель межотраслевого баланса (n отраслей)

Подставляя соотношения (6.29) и (6.30) в уравнения (6.25) и (6.26) соответственно, получим уравнения модели межотраслевого баланса продукции в натуральном выражении:
Модель межотраслевого баланса (n отраслей)

и уравнение баланса затрат труда:
Модель межотраслевого баланса (n отраслей)

Система уравнений, двойственная к системе (6.31)-(6.32), определяет полные затраты труда:
Модель межотраслевого баланса (n отраслей)

Перейдем теперь к другой форме записи модели межотраслевого баланса, используя векторно-матричные обозначения. Обозначим через х вектор-столбец валовых выпусков и через у - вектор-столбец конечных выпусков:
Модель межотраслевого баланса (n отраслей)

Обозначим через А матрицу коэффициентов прямых затрат промежуточной продукции:
Модель межотраслевого баланса (n отраслей)

Тогда уравнение (6.26) примет вид:
Модель межотраслевого баланса (n отраслей)

Обозначим далее через l вектор-строку прямых затрат труда: l = (l1, l2,...,ln)- Тогда уравнение баланса затрат труда примет вид:
Модель межотраслевого баланса (n отраслей)

Запишем теперь уравнения полных затрат труда:
Модель межотраслевого баланса (n отраслей)

где р - вектор-строка полных затрат труда, р = (р1, р2,.., рn).
Для решения системы уравнений (6.34) и (6.36) перенесем неизвестные в левую часть уравнений:
Модель межотраслевого баланса (n отраслей)

где I - единичная матрица размерности n.
Если определитель матрицы (I - А) не равен нулю, то существует матрица, обратная к (I - А). Обозначим ее через В = (I - А)-1. Тогда решение системы уравнений (6.34) может быть записано в форме:
Модель межотраслевого баланса (n отраслей)

а системы уравнений (6.36) - в форме:
Модель межотраслевого баланса (n отраслей)

Используя соотношения (6.37) и (6.38), приходим к следующему равенству:
Модель межотраслевого баланса (n отраслей)

Это основное балансовое равенство в теории межотраслевого баланса. Конкретное экономическое содержание его должно быть всякий раз уточнено. В данном случае это равенство означает, что стоимость конечной продукции, оцененная полными затратами труда, равна совокупным затратам труда.
Теперь рассчитаем коэффициенты прямых затрат промежуточной продукции в стоимостном выражении:
Модель межотраслевого баланса (n отраслей)

и коэффициенты прямых затрат труда в стоимостном выражении:
Модель межотраслевого баланса (n отраслей)

Эти коэффициенты прямых затрат являются величинами безразмерными, и их сумма равна единице:
Модель межотраслевого баланса (n отраслей)

Если l*j≥0, то Σa*ij≤1. Назовем нормой матрицы с неотрицательными элементами наибольшую из сумм элементов этой матрицы в каждом столбце и обозначим ее через ||A||, или иначе:
Модель межотраслевого баланса (n отраслей)

Если все l*j≥0, то ||A||≤1.
Запишем уравнения полных затрат труда для модели межотраслевого баланса в стоимостном выражении:
Модель межотраслевого баланса (n отраслей)

Этой системе уравнений удовлетворяют значения р* = (1, 1,..., 1). Это означает, что в модели межотраслевого баланса в стоимостном выражении полные затраты труда являются безразмерными величинами, т.е. мы имеем теперь дело с индексами полных затрат труда, причем базовые индексы равны единице.