Реклама

Реклама

Яндекс.Метрика

Нелинейная модель внешней торговли


В нелинейной модели внешней торговли рассматриваются две страны (1 и 2), производящих два продукта (X и Y). Для каждой страны заданы функции полезности и производственные функции, в которых выпуск продукции зависит только от затрат труда. Каждая страна максимизирует свою функцию полезности при заданном ограничении на использование трудовых ресурсов.
Сначала рассмотрены задачи для каждой страны без учета внешней торговли. Это позволяет найти отношение внутренних цен на выпускаемые продукты для каждой страны. Затем рассмотрены модели с учетом внешней торговли. В результате получаем функции экспорта и импорта для каждой из стран как функции от условий торговли. Далее доказывается (при принятых предположениях), что с увеличением склонности к потреблению импортируемого товара условия торговли ухудшаются. При этом ухудшается и благосостояние общества в целом. В конце параграфа рассмотрен оригинальный способ иллюстрации тесной связи между потребительским выбором и распределением доходов.
Весь анализ будем проводить на примере страны 1, считая, что аналогичную задачу решает для себя и страна 2.
1. Обозначим производимые странами продукты через X и Y. Для страны 1 известны функция полезности U(X1, Y1) и зависимости выпуска от затрат труда (производственные функции): X1 = FX1(LX1), Y1 = FY1(LY1). Совокупные затраты труда на производство обоих продуктов ограничены и равны L1, т.е. LX1 + LX2 = L1. Используя производственные функции, выразим затраты труда как функции выпуска продукции: LX1 = φ(X1), LY1 = φ(Y1). Страна 1 максимизирует функцию полезности U(X1, Y1) при ограничении на затраты труда φ(Х1) + φ(Y1) = L1.
Запишем условие оптимальности для этой задачи в следующем виде:
Нелинейная модель внешней торговли

т.е. отношение предельных полезностей продуктов X и Y равно отношению их предельных трудоемкостей. Это равенство определяет отношение внутренних цен на продукты X и К, которое мы обозначим через t1:
Нелинейная модель внешней торговли

Для страны 2 отношение внутренних цен обозначим через t2.
Нелинейная модель внешней торговли

Допустим, что t1>t2. Тогда, с учетом внешней торговли, для страны 1 выгоднее специализироваться на производстве продукта Y, а для страны 2 - на производстве продукта X. В этом случае страна 1 будет экспортировать продукт Y и импортировать продукт X.
Мировые цены обозначим через рX и рY. Под условиями торговли для страны 1 будем понимать отношение ее экспорта к импорту, EY т.е. EY1/MX1. При равновесии сальдо торгового баланса каждой из стран должно быть равно нулю. Следовательно,
Нелинейная модель внешней торговли

Таким образом, чтобы внешняя торговля была взаимовыгодной, условия торговли должны быть заключены в следующих границах:
Нелинейная модель внешней торговли

Наша последующая задача состоит в том, чтобы найти зависимость экспорта и импорта каждой из стран от условий торговли. Сначала рассмотрим решение задачи в общем виде, а затем с использованием конкретных функций полезности и производственных функций.
2. Объемы производства (обозначим их через SXq и SY1) продуктов X и К для страны q находим, решая задачу максимизации выпуска продукции в стоимостном выражении рхХ1 + pyY1, при ограничении на затраты труда φ(X1) + φ(Y1) = L1.
Доход страны q обозначим через N1. Он равен: N1 = PxSX1 + PySY1. Спрос на продукты X и Y в стране 1 найдем, решая задачу максимизации функции полезности U(X1, Y1) при заданном бюджетном ограничении: рxХ1 + pyY1 = N1. Обозначим решение задачи через DX1, DY1. Тогда экспорт продукта Y1 страной 1 равен (напомним, что страна 1 по предположению экспортирует продукт К и импортирует продукт X): EY1 = SY1-DY1. Соответственно импорт продукта X равен: MX1 = DX1-SX1.
Для каждой из стран объем производства в стоимостном выражении равен объему спроса в стоимостном выражении плюс сальдо торгового баланса. То есть, например, для страны 1 имеем:
Нелинейная модель внешней торговли

Если сальдо торгового баланса отрицательно, то страна 1 потребляет больше, чем производит (и наоборот). Поэтому, как было указано выше, при равновесных условиях торговли сальдо торгового баланса должно быть равно нулю.
Пусть для страны 1:
Нелинейная модель внешней торговли

Для страны 2:
Нелинейная модель внешней торговли

При этих дополнительных предположениях мы можем вывести, решая рассмотренные выше задачи, функции экспорта и импорта. При этом мы опускаем все промежуточные выкладки.
Отношение внутренних цен для страны 1 равно:
Нелинейная модель внешней торговли

Соответственно, для страны 2 отношение внутренних цен равно:
Нелинейная модель внешней торговли

Далее выпишем объемы производства, спроса, экспорта, импорта и доход страны 1, выраженные через условия торговли:
Нелинейная модель внешней торговли

B заключение этого раздела параграфа заметим, что: 1) условия торговли ухудшаются, если стране приходится отдавать все больше экспорта за единицу импорта; 2) функции экспорта и импорта для страны 1 являются убывающими по t, т.е. при ухудшении условий торговли происходит свертывание внешней торговли.
3. Далее в этом параграфе будет доказано (естественно при исходных предположениях рассматриваемой модели внешней торговли), что при увеличении склонности к потреблению импортируемого товара условия торговли ухудшаются.
Экспорт и импорт зависят не только от условий торговли, но и от параметров производственных функций и функции полезности. В частности увеличение, например, параметра с функции полезности страны 1, означает увеличение склонности к потреблению товара X в этой стране.
Будем рассматривать функции экспорта и импорта не только от условий торговли, но и от параметра с. Изменение параметра с влияет на экспорт страны 1 прямо и косвенно через условия торговли:
Нелинейная модель внешней торговли

На импорт страны 2 параметр с влияет только косвенно через изменение условий торговли:
Нелинейная модель внешней торговли

При равновесии выполняется равенство: EY1 = MY2, т.е.
Нелинейная модель внешней торговли

Дифференцируя это равенство по с, получим:
Нелинейная модель внешней торговли

Откуда
Нелинейная модель внешней торговли

Как было показано выше, функции экспорта и импорта страны 1 являются убывающими по t, а аналогичные функции для страны 2 - возрастающими, т.е.
Нелинейная модель внешней торговли

Следовательно, знак производной dt/dc зависит от знака производной df/dc.
Располагая функцией экспорта, найдем зависимость экспорта страны 1 от параметра с в явном виде. Имеем:
Нелинейная модель внешней торговли

4. Оставаясь в рамках нашей модели, и в частности, полагая, что индивидуальные предпочтения могут быть интегрированы в общественную функцию полезности, докажем, что при ухудшении условий торговли общественное благосостояние ухудшается.
Для этого в функцию полезности страны 1 подставим функции спроса, т.е.
Нелинейная модель внешней торговли

Спрос зависит от условий торговли, следовательно, и функцию полезности можно выразить через условия торговли. Найдем эту функцию.
После упрощений спрос на товары X и Y в стране 1 может быть представлен в следующем виде:
Нелинейная модель внешней торговли

После подстановки этих функций спроса в функцию полезности, получаем:
Нелинейная модель внешней торговли

Найдем производную функции полезности по t:
Нелинейная модель внешней торговли

5. Теперь рассмотрим связь общественных предпочтений с распределением доходов в обществе.
Допустим, в обществе имеются две группы населения. Для одной группы населения функция полезности имеет вид:
Нелинейная модель внешней торговли

а для другой группы населения функция полезности имеет следующий вид:
Нелинейная модель внешней торговли

Пусть также общественная функция полезности имеет вид:
Нелинейная модель внешней торговли

Допустим, что доход первой группы равен M1, а второй, группы -M2 и совокупный доход обозначим через M = M1+M1.
При этих предположениях найдем спрос на каждый из товаров для общества в целом двумя способами, всякий раз полагая в бюджетном ограничении среднедушевой доход либо в обществе в целом, либо в каждой из групп. В первом случае будем максимизировать функцию полезности общества в целом W(X, Y) при бюджетном ограничении рхХ + pyY = М.
Во втором случае будем решать аналогичную задачу для каждой группы населения в отдельности. Для первой группы: max U(X, Y) при бюджетном ограничении рхХ1 + pyY1 = M1. Для второй группы: max Q(X, Y), при бюджетном ограничении рхХ2 + pyY2 = M2.
В первом случае совокупный спрос соответственно на товары X и Y равен:
Нелинейная модель внешней торговли

Во втором случае спрос первой группы соответственно на товары X и Y равен
Нелинейная модель внешней торговли

Спрос второй группы равен:
Нелинейная модель внешней торговли

И совокупный спрос равен:
Нелинейная модель внешней торговли

6. В книге Л. Столерю дана геометрическая иллюстрация условий торговли в параграфе «Общие закономерности внешнеторгового обмена», соответствующая задаче, рассмотренной нами выше (5.2.1-5.2.2). Параграф завершается следующим выводом: «В общем случае существует единственное значение для terms of trade... Этот закон...». Это терминология «классиков», которая сохранилась до наших дней (например «закон» Оукена). На самом деле, как видим из анализа данной главы, никакого закона не существует, а все определяется целью. Либо достойная жизнь для всех (устойчивое развитие), либо изобильная жизнь для богатых и нищета для прочих (идеология рыночного либерализма). В последнем случае цель не формулируется явно, но последствия политики, подчиненной подобной цели, вполне ощутимы. Выбранные цели экономической политики определяют, как сложатся и условия торговли.